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$r^{2}+r'^{2}=2R^{2},$

et

$k^{2}={\frac {T}{4R^{2}}}\left(R^{2}-r^{2}\right)={\frac {T}{4R^{2}}}\left(r'^{2}-R^{2}\right).$

Remarquons présentement que

$T={\frac {1}{2}}c'c''\operatorname {Sin} .\alpha ={\frac {1}{2}}c''c\operatorname {Sin} .\alpha '={\frac {1}{2}}cc'\operatorname {Sin} .\alpha ''\,;$

d’où

$T^{3}={\frac {1}{8}}c^{2}c'^{2}c''^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha '',$

on a d’ailleurs

$4T^{2}R^{2}={\frac {1}{4}}c^{2}c'^{2}c''^{2}\,;$

donc en divisant

${\frac {T}{4R^{2}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ''\,;$

et par suite

$k^{2}={\frac {1}{2}}\left(R^{2}-r^{2}\right)\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ''={\frac {1}{2}}\left(r^{'}2-R^{2}\right)\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ''.$

De plus, si l’on représente par $t$ la corde du cercle dont le rayon est $R,$ tangente à celui dont le rayon est $r,$ et par $t'$ la corde du cercle dont le rayon est $r',$ tangente à celui dont le rayon est $R,$ on aura

$R^{2}-r^{2}={\frac {1}{4}}t^{2},\qquad r^{'}2-R^{2}={\frac {1}{4}}t'^{2}\,;$

donc finalement

$k^{2}=t^{2}.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{2}}.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha '}{2}}.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha ''}{2}}=t'^{2}.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{2}}.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha '}{2}}.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha ''}{2}}.$

De tout cela résulte le théorème suivant :