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$(ab'-ba')^{3}\left(x^{2}+y^{2}-2\alpha x-2\beta y\right)\pm 2c^{2}c'^{2}c''^{2}k^{2}=0,$

et pourra ensuite être mise sous cette forme

$(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}\mp {\frac {2c^{2}c'^{2}c''^{2}k^{2}}{(ab'-ba')^{3}}}\,;$

équation commune à deux cercles concentriques dont le centre commun a pour coordonnées $\alpha$ et $\beta .$ Mais il est connu, et il est d’ailleurs facile de s’assurer que $\alpha$ et $\beta$ sont aussi les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle proposé $\mathrm {SS'S''} \,;$ d’où il suit qu’en représentant par $R$ le rayon de ce dernier cercle, on doit avoir $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=R^{2}.$ D’un autre côté, en représentant par $T$ l’aire de ce même triangle, on a

$ab'-ba'=2T,\qquad R={\frac {cc'c''}{4T}}={\frac {cc'c''}{2(ab'-ba')}},$

d’où

${\frac {2c^{2}c'^{2}c''^{2}}{(ab'-ba')^{2}}}=8R^{2},$

et

${\frac {2c^{2}c'^{2}c''^{2}}{(ab'-ba')^{3}}}={\frac {4R^{2}}{T}}$

ce qui donnera, en substituant

$(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}=R^{2}\mp {\frac {4R^{2}k^{2}}{T}}=R^{2}.{\frac {T\mp 4k^{2}}{T}}.$

En désignant donc par $r$ et $r'$ les rayons des deux cercles dont les circonférences résolvent le problème proposé, on aura

$r^{2}=R^{2}.{\frac {T-4k^{2}}{T}},\qquad r'^{2}=R^{2}.{\frac {T+4k^{2}}{T}}\,;$

d’où