Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/29

${\begin{array}{ll}y-b=M(x-a),&y-b'=M'(x-a'),\\y-b=N(x-a),&y-b'=N'(x-a')\,;\end{array}}$

les équations de la dernière ligne étant celles des côtés qui doivent se couper sur l’axe des $x,$ à une distance $t$ de l’origine. Nous aurons

$m={\frac {M-N}{1+MN}},\qquad m'={\frac {M'-N'}{1+M'N'}}.$

mais, en mettant $t$ pour $x$ et $0$ pour $y$ dans les équations de la dernière ligne, elles doivent être satisfaites ; d’où il suit qu’on doit avoir

$-b=N(t-a),\qquad -b'=N'(t-a')$

Substituant donc les valeurs de $N$ et $N',$ tirées de ces deux équations dans les expressions de $m$ et $m',$ celles-ci deviendront

$m={\frac {Mt+(b-Ma)}{t-(a+Mb)}},\qquad m'={\frac {M't+(b'-M'a')}{t-(a'+M'b')}}\,;$

ce qui donne

${\begin{aligned}(M\,-m\,)t&=(a\,+m\,b\,)M\,-(b\,-m\,a\,)\,;\\(M'-m')t&=(a'+m'b')M'-(b'-m'a')\,;\end{aligned}}$

équations entre lesquelles éliminant $t,$ il viendra

${\begin{aligned}&\left\{(mb-m'b')+(a-a')\right\}MM'\\+&\left\{(b'-mm'b)-m'(a+a')\right\}M\\-&\left\{(b-mm'b')-m(a+a')\right\}M'\\-&\left\{(mb'-m'b)-mm'(a-a')\right\}=0\,;\end{aligned}}$