où 
est un nombre entier pair quelconque ; et à cause de 
on peut écrire simplement
donc
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x=n\left\{\left(1+{\sqrt {-1}}.{\frac {p\pi }{n}}\right){\sqrt[{n}]{x}}-1\right\}=n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)+p\varpi {\sqrt[{n}]{x}}.{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7c1e3955cb7d2c35e64256b5207af8026e93a6)
si donc on représente simplement par 
le logarithme réel de 
on aura
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x=\operatorname {l} x+p\varpi {\sqrt[{n}]{x}}.{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e393cb79a6b0b150e2b4eddda9c6f1aaab88ddab)
et comme, à cause de 
on a ![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79db2ca887c11b3fdc91c8cfd98ea841acc3fcb)
on pourra écrire simplement
Par un raisonnement analogue, on prouvera que
où 
désigne un nombre entier impair quelconque.
La réciproque se tire de la même équation (1} qui, étant résolue par rapport à 
donne
d’où, à cause de 
infini, on peut conclure
![{\displaystyle x=\left\{1+{\frac {\operatorname {Log} .x}{n}}\right\}^{n+{\frac {1}{k}}}=\left\{1+{\frac {\operatorname {Log} .x}{n}}\right\}^{n}.{\sqrt[{k}]{1+{\frac {\operatorname {Log} .x}{n}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4fd8ea4b63493b754afa3ea2acbfb21cfa4e34e)
et, comme cette formule a lieu quel que soit 
il est permis de le supposer entier et positif. Si donc nous représentons par 
le
