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$\operatorname {Log} .x=n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)\qquad$(1)

pourvu que, dans cette expression, on fasse $n=\infty$^[1]. Ainsi ${\sqrt[{n}]{x}}$ ayant une infinité de valeurs, on peut déjà, au premier coup-d’œil, conclure de suite que $\operatorname {Log} .x$ a également une infinité de valeurs. Mais il est aisé, en outre, d’en donner l’expression. Soit d’abord $x$ positif ; on peut écrire

$\operatorname {Log} .x=n\left({\sqrt[{n}]{x}}.{\sqrt[{n}]{1}}-1\right)$

où ${\sqrt[{n}]{x}}$ représentera alors uniquement la racine $n$.^me réelle de $x$ ; or, on sait que

${\sqrt[{n}]{1}}=\operatorname {Cos} .({\frac {p\pi }{n}})+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .({\frac {p\pi }{n}}),$

1. On sait en effet que, d’une part,
   $\operatorname {Log} .(1+y)={\frac {y}{1}}-{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {y3}{3}}-{\frac {y^{4}}{4}}+\ldots ,$

   on sait d’ailleurs que

   $n\left({\sqrt[{n}]{1+y}}-1\right)=y-\left(1-{\frac {1}{n}}\right){\frac {y^{2}}{2}}+\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{2n}}\right){\frac {y3}{3}}$
   
   
   $-\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{2n}}\right)\left(1-{\frac {1}{3n}}\right){\frac {y^{4}}{4}}+\ldots ,$

   Or, dans le cas où $n$ est infini, les seconds membres de ces deux équations deviennent égaux ; donc on a sous la même condition

   $\operatorname {Log} .(1+y)=n\left({\sqrt[{n}]{1+y}}-1\right)\,;$

   équation qui devient celle du texte, en y changeant $1+y$ en $x.$

   J. D. G.