Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/274

cable, et cette équation semble ne plus devoir être vraie. Cependant il est toujours possible de trouver une troisième surface $\mathrm {(R''),}$ assujettie aux mêmes conditions que $\mathrm {(R)}$ et $\mathrm {(R'),}$ et qui de plus ne les rencontre que suivant la courbe $\mathrm {(P).}$ Alors, on aura, par ce qui précède,

$\iint (R)\operatorname {d} 'r\operatorname {d} s^{2}=\iint (R'')\operatorname {d} 'r\operatorname {d} s^{2},$

$\iint (\mathrm {R'} )\operatorname {d} 'r\operatorname {d} s^{2}=\iint (R'')\operatorname {d} 'r\operatorname {d} s^{2},$

et par suite

$\iint (R)\operatorname {d} 'r\operatorname {d} s^{2}=\iint (R')\operatorname {d} 'r\operatorname {d} s^{2}\,;$

comme si les surfaces $\mathrm {(R),(R')}$ ne se rencontraient que suivant la courbe $\mathrm {(P).}$

On pourrait conclure de là que l’expression

$\iint (R)\operatorname {d} 'r\operatorname {d} s^{2}$

est entièrement indépendante de la nature de la surface $\mathrm {(R),}$ et quelle dépend seulement de la nature de la courbe $\mathrm {(P),}$ qui lui sert de limite et du temps $t.$

23. Pour donner une application de ce qui précède, supposons que le fluide soit contenu dans un vase invariable de forme et de position. Supposons encore que la courbe $\mathrm {(P),}$ tracée sur les parois du vase en fasse le tour, et qu’enfin la surface $\mathrm {(R)}$ se compose, 1.^o d’une partie plus ou moins étendue de ces parois ; 2.^o d’une section de surface quelconque, limitée par ces mêmes parois ; ce qui laisse la forme et la position de cette surface entièrement indépendante de la courbe $\mathrm {(P)}$ et de la forme du vase. En désignant par $\mathrm {(A)}$ la surface dont il s’agit, nous aurons

$\iint (R)\operatorname {d} 'r\operatorname {d} s^{2}=\iint (A)\operatorname {d} 'r\operatorname {d} s^{2}\,;\qquad$(37)