![{\displaystyle \int {\frac {x^{m-1}\operatorname {d} x}{\sqrt {1-x^{n}}}}.\int {\frac {x^{n-m-1}\operatorname {d} x}{\sqrt {1-x^{n}}}}={\frac {2\varpi \operatorname {Cot} .{\frac {m\varpi }{n}}}{n(n-2m)}},\qquad \left[{\begin{aligned}&x=0\\&x=1\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10ccde8aa4f83483ca839a33fa44e20b6cb6722)
en faisant donc 
on obtiendra
![{\displaystyle \int {\frac {a^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}.\int {\frac {l^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}={\frac {\varpi a^{2}}{4}},\qquad \left[{\begin{aligned}&l=0\\&l=a\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cef97843494b740c9d0a777ff8a613e2e6c6f96a)
donc
deuxième partie du théorème[1].
Genève, le 15 avril 1823.
![{\displaystyle \int {\frac {z^{p}\operatorname {d} z}{\sqrt {1-z^{2n}}}}.\int {\frac {z^{p+n}\operatorname {d} z}{\sqrt {1-z^{2n}}}}={\frac {1}{n(p+1)}}.{\frac {\varpi }{2}}\,;\qquad \left[{\begin{aligned}&z=0\\&z=1\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc96eb2a5ae5ef969e5d23f8b61ef0890c2ba0f)
mais il faut observer que 
n’est point ici un nombre tout-à-fait arbitraire, à cause de l’équation 
dans laquelle 
et 
sont nécessairement des nombres positifs, et où est un nombre entier. Si, par exemple, pour obtenir le produit
on voulait faire 
et 
il s’ensuivrait 
ou 
ce qu’on ne peut admettre ; il faut donc chercher ce produit par une autre voie.
- ↑ M. H. W. T. à qui on doit ces deux singuliers théorèmes en a donné une démonstration qui ne diffère guère de celle qu’on vient de lire qu’en ce que, dans ses calculs, il substitue l’angle
au rayon vecteur.
J. D. G.
