Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/264

18. Le plus souvent les forces accélératrices qui sollicitent le fluide en mouvement se réduisent à la pesanteur que l’on regarde comme une force constante et de direction parallèle à une droite fixe, dans toute l’étendue de la masse fluide. Représentant cette force par $g$ et prenant la coordonnée $z$ verticale, et dirigée de haut en bas, nous aurons

$\nu =gz,$

dont la substitution dans la formule (29) donnera

$g\left(z-z_{1}\right)-\left(\gamma -\gamma _{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(u^{2}-u_{1}^{2}\right).$

Dans le cas on le fluide est homogène et incompressible, la densité $\Delta$ est absolument constante, et l’on a, par conséquent,

$\gamma =\int {\frac {\delta p}{\Delta }}={\frac {p}{\Delta }},$

en vertu de quoi la précédente équation devient

$y\left(z-z_{1}\right)-\left({\frac {p-p_{1}}{\Delta }}\right)={\frac {1}{2}}\left(u^{2}-u_{1}^{2}\right).\qquad$(30)

Si, pour tous les points de la surface libre du fluide, la pression doit être constante, on aura pour les divers points de cette surface

$g\left(z-z_{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(u^{2}-u_{1}^{2}\right),$

et si les vitesses $u,u_{1}$ sont assez petites pour qu’on puisse en négliger les quarrés,

$g\left(z-z_{1}\right)=0\,;$