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Au moyen des valeurs de $\operatorname {d} 'x,\operatorname {d} 'y,\operatorname {d} 'z$ que nous venons de donner, on trouvera

$\operatorname {d} 'x\delta x+\operatorname {d} 'y\delta y+\operatorname {d} 'z\delta z=\delta \phi +P\delta x+Q\delta y+R\delta z,\qquad$(27)

d’où l’on voit que, pour que le premier membre de cette équation fût une variation exacte, il faudrait qu’il en fût de même de $P\delta x+Q\delta y+R\delta z\,;$ ce qui peut fort bien ne pas être, puisque $P,Q,R$ sont des fonctions entièrement arbitraires de $x,y,z.$

Si, par exemple, on fait

$\operatorname {d} 'x={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} x}}+ny,\quad \operatorname {d} 'y={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} y}}-nx,\quad \operatorname {d} 'z={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} z}},$

$n$ étant un, nombre constant quelconque, on aura

$\operatorname {d} 'x\delta x+\operatorname {d} 'y\delta y+\operatorname {d} 'z\delta z=\delta \phi +n(y\delta x-x\delta y),$

dont le premier membre ne saurait être une variation exacte, tant que $n$ n’est point nul, quoique les mêmes valeurs donnent

${\frac {\operatorname {dd} 'x}{\operatorname {d} t}}\delta x+{\frac {\operatorname {dd} 'y}{\operatorname {d} t}}\delta y+{\frac {\operatorname {dd} 'z}{\operatorname {d} t}}\delta z=\delta {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}.$

16. Il semblerait résulter de ce que nous venons de dire, dans le dernier n.^o, que les résultats des recherches des grands géomètres de nos jours, sur les petites occillations des fluides, ont beaucoup moins de généralité qu’ils ne l’ont cru et annoncé. Heureusement il n’en est pas ainsi ; $\operatorname {d} 'x\delta x+\operatorname {d} 'y\delta y+\operatorname {d} 'z\delta z$ peut être réputée une variation exacte, toutes les fois que les molécules du fluide ne font que de très-petites occillations autour de leur position d’équilibre. Pour le prouver, faisons, en général,