Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/254

$\left.{\begin{aligned}&\left(\operatorname {d} 'x{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} a}}+\operatorname {d} 'y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}+\operatorname {d} 'z{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}\right)\delta a\\\\+&\left(\operatorname {d} 'x{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} b}}+\operatorname {d} 'y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}+\operatorname {d} 'z{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b}}\right)\delta b\\\\+&\left(\operatorname {d} 'x{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} c}}+\operatorname {d} 'y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} c}}+\operatorname {d} 'z{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} c}}\right)\delta c\end{aligned}}\right\}=\delta \phi +A\delta a+B\delta b+C\delta c\,;$

d’où en observant que les variations $\delta a,\delta b,\delta c$ sont entièrement arbitraires, on tirera

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {d} 'x{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} a}}+\operatorname {d} 'y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}+\operatorname {d} 'z{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} a}}+A,\\\\&\operatorname {d} 'x{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} b}}+\operatorname {d} 'y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}+\operatorname {d} 'z{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b}}={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} b}}+B,\\\\&\operatorname {d} 'x{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} c}}+\operatorname {d} 'y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} c}}+\operatorname {d} 'z{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} c}}={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} c}}+C,\end{aligned}}\right\}\quad (15)$

qui sont les intégrales premières des équations (2). Il resterait encore à déterminer $x,y,z$ et $\phi ,$ au moyen de ces équations combinées avec l’équation (4) ; après quoi l’équation (12) ferait connaître $p\,;$ mais cette détermination surpasse les forces de l’analise. Toutefois ces équations pourront être utiles, lorsqu’on connaîtra le mouvement que prendrait le fluide, sans l’action de très-petites forces perturbatrices, comme il arrive dans la théorie des marées, où, sans l’action du soleil et de la lune, la mer prendrait un mouvement uniforme de rotation autour de l’axe de la terre ; mouvement qui n’est qu’extrêmement peu troublé par l’effet de cette action.

13. Nous avons identiquement

$\operatorname {d} \phi ={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}+{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} 'x+{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} 'y+{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} z}}\operatorname {d} 'z,$

par suite de quoi l’équation (12) devient