Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/238

${\frac {mn'b''-mb'n''+bm'n''-nm'b''+nb'm''-bn'm''}{mn'c''-mc'n''+cm'n''-nm'c''+nc'm''-cn'm''}}.$

et ainsi des autres, jusqu’au côté $\mathrm {KL,}$ pour lequel le rapport de ces mêmes segmens sera

${\frac {mn'k''-mk'n''+km'n''-nm'k''+nk'm''-kn'm''}{mn'l''-ml'n''+lm'n''-nm'l''+nl'm''-ln'm''}}.$

En conséquence, si l’on dénote par $\mathrm {P} _{mn}$ le produit continu des segmens déterminés par le plan $\mathrm {MPN}$ sur les côtés consécutifs $\mathrm {AB,BC,CD,\ldots KL,}$ à partir de leurs extrémités $\mathrm {A,B,C,\ldots K,}$ et par $\mathrm {Q} _{mn}$ le produit continu des segmens déterminés par ce même plan sur les mêmes côtés, à partir de leurs extrémités $\mathrm {B,C,D,\ldots L,}$ on aura

${\frac {\mathrm {P} _{mn}}{\mathrm {Q} _{mn}}}={\frac {mn'a''-ma'n''+am'n''-nm'a''+na'm''-an'm''}{mn'l''-ml'n''+lm'n''-nm'l''+nl'm''-ln'm''}}.$

Par l’emploi de notations analogues, on trouvera

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {P} _{ab}}{\mathrm {Q} _{ab}}}&={\frac {ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''}{ab'n''-an'b''+na'b''-ba'n''+bn'a''-nb'a''}},\\\\{\frac {\mathrm {P} _{bc}}{\mathrm {Q} _{bc}}}&={\frac {bc'd''-bd'c''+db'c''-cb'd''+cd'b''-dc'b''}{bc'a''-ba'c''+ab'c''-cb'a''+ca'b''-ac'b''}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite, et enfin

${\frac {\mathrm {P} _{na}}{\mathrm {Q} _{na}}}={\frac {na'b''-nb'a''+bn'a''-an'b''+ab'n''-ba'n''}{na'm''-nm'a''+mn'a''-an'm''+am'n''-ma'n''}}.$

d’où nous conclurons

${\frac {\mathrm {P} _{ab}}{\mathrm {Q} _{ab}}}.{\frac {\mathrm {P} _{bc}}{\mathrm {Q} _{bc}}}.{\frac {\mathrm {P} _{cd}}{\mathrm {Q} _{cd}}}\ldots {\frac {\mathrm {P} _{mn}}{\mathrm {Q} _{mn}}}.{\frac {\mathrm {P} _{na}}{\mathrm {Q} _{na}}}=1.$

c’est-à-dire,

$\mathrm {P} _{ab}.\mathrm {P} _{bc}.\mathrm {P} _{cd}\ldots \mathrm {P} _{mn}.\mathrm {P} _{na}=\mathrm {Q} _{ab}.\mathrm {Q} _{bc}.\mathrm {Q} _{cd}\ldots \mathrm {Q} _{mn}.\mathrm {Q} _{na},$

comme le veut le théorème.