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Ce plan coupe $\mathrm {AB}$ en un certain point, et on peut admettre que $p$ et $q$ sont les distances de ce point aux deux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B.}$ En substituant donc tour à tour pour $x$ et $y$ dans l’équation (3) les valeurs données par les équations (1) et (2) on trouvera, pour les deux segmens déterminés sur $\mathrm {AB,}$ par le plan dont il s’agit

$p={\frac {na'-n'a}{n'\alpha -n\alpha '}},\qquad q={\frac {nb'-n'b}{n'\alpha -n\alpha '}},$

d’où il suit que le rapport entre les deux segmens que détermine sur $\mathrm {AB}$ le plan conduit par la droite donnée et par le sommet $\mathrm {N}$ est

${\frac {na'-n'a}{nb'-n'b}}.$

Appliquant donc, tour à tour, les mêmes considérations aux côtés consécutifs $\mathrm {AB,BC,CD,\ldots LM}$ du polygone coupés par ce même plan, on trouvera, pour les rapports de longueur des segmens déterminés sur ces divers côtés,

${\frac {na'-n'a}{nb'-n'b}},\ {\frac {nb'-n'b}{nc'-n'c}},\ {\frac {nc'-n'c}{nd'-n'd}},\ldots {\frac {nl'-n'l}{nm'-n'm}}.$

Donc, si l’on dénote par $\mathrm {P} _{n}$ le produit continuel des segment déterminés sur ces côtés, à partir de leurs extrémités $\mathrm {A,B,C\ldots L} ,$ et par $\mathrm {Q} _{n}$ le produit continuel des segmens déterminés sur ces mêmes côtés, à partir de leurs extrémités $\mathrm {B,C,D,\ldots M,}$ le rapport du premier produit au second sera

${\frac {\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {Q} _{n}}}={\frac {na'-n'a}{nm'-n'm}}.$

Si présentement nous considérons tour à tour les plans qui passent par les sommets $\mathrm {A,B,C,\ldots N,}$ en employant des notations analogues, nous trouverons