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$\mathrm {NPA.AB} .Sin.(\mathrm {AB} ,na)=\mathrm {APB.NA} Sin.(\mathrm {NA} ,ab).$

Chacun des sommets $\mathrm {A,B,C,\ldots L,M,N}$ fournissant, une équation analogue, on aura ces $n$ équations

${\begin{aligned}\mathrm {NPA.AB} .Sin.(\mathrm {AB} ,na)&=\mathrm {APB.NA} Sin.(\mathrm {NA} ,ab),\\\\\mathrm {APB.BC} .Sin.(\mathrm {BC} ,ab)&=\mathrm {BPC.AB} Sin.(\mathrm {AB} ,bc),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {LPM.MN} .Sin.(\mathrm {MN} ,lm)&=\mathrm {MPN.LM} .Sin.(\mathrm {LM} ,mn),\\\\\mathrm {MPN.NA} .Sin.(\mathrm {NA} ,mn)&=\mathrm {NPA.MN} .Sin.(\mathrm {MN} ,na),\end{aligned}}$

lesquelles, étant multipliées membre à membre, donneront, par la suppression des facteurs communs aux deux membres de l’équation résultante,

${\begin{array}{lr}\quad Sin.(\mathrm {AB} ,na).Sin.(\mathrm {BC} ,ab)\ldots Sin.(\mathrm {MN} ,lm).Sin.(\mathrm {NA} ,mn)&\\&(4)\\=Sin.(\mathrm {NA} ,ab).Sin.(\mathrm {AB} ,bc)\ldots Sin.(\mathrm {LM} ,mn).Sin.(\mathrm {MN} ,na)&\\\end{array}}$

On voit, en vertu de cette dernière équation, que, si l’on prend le produit des équations (3) membre à membre, les sinus disparaîtront des deux membres de l’équation résultante ; il est d’ailleurs visible que les côtés du polygone en disparaîtront aussi ; de sorte qu’il ne restera plus alors, de part et d’autre, que les produits de segmens dont il s’agissait précisément de démontrer l’égalité.

Dans la démonstration de ces théorèmes, on peut s’appuyer sur les propositions démontrées par Carnot, dans sa Théorie des transversales, et c’est ainsi qu’en ont usé quelques-uns des géomètres qui ont traité les deux questions proposées ; mais il n’en résulte pas une très-grande abréviation, et dès-lors il nous paraît