Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/233

$\mathrm {BC.D(CD)} _{ab}.\mathrm {E(DE)} _{ab}.\mathrm {M(LM)} _{ab}.\mathrm {N(MN)} _{ab}.Sin.(\mathrm {BC} ,ab)$

$=\mathrm {NA.C(CD)} _{ab}.\mathrm {D(DE)} _{ab}.\mathrm {L(LM)} _{ab}.\mathrm {M(MN)} _{ab}.Sin.(\mathrm {NA} ,ab).$

Chacun des côtés $\mathrm {AB,BC,CD,\ldots LM,MN,NA}$ devant fournir une équation analogue, on aura ces $n$ équations

$\left.{\begin{array}{l}\mathrm {BC.D(CD)} _{ab}.\mathrm {E(DE)} _{ab}\ldots \mathrm {M(LM)} _{ab}.\mathrm {N(MN)} _{ab}.Sin.(\mathrm {BC} ,ab)\\\qquad =\mathrm {NA.C(CD)} _{ab}.\mathrm {D(DE)} _{ab}\ldots \mathrm {L(LM)} _{ab}.\mathrm {M(MN)} _{ab}.Sin.(\mathrm {NA} ,ab).\\\mathrm {CD.E(DE)} _{bc}.\mathrm {F(EF)} _{bc}\ldots \mathrm {N(MN)} _{bc}.\mathrm {A(NA)} _{bc}.Sin.(\mathrm {CD} ,bc)\\\qquad =\mathrm {AB.D(DE)} _{bc}.\mathrm {E(EF)} _{bc}\ldots \mathrm {M(MN)} _{bc}.\mathrm {N(NA)} _{bc}.Sin.(\mathrm {AB} ,bc).\\\mathrm {DE.F(EF)} _{cd}.\mathrm {G(FG)} _{cd}\ldots \mathrm {A(NA)} _{cd}.\mathrm {B(AB)} _{cd}.Sin.(\mathrm {DE} ,cd)\\\qquad =\mathrm {BC.E(EF)} _{cd}.\mathrm {F(FG)} _{cd}\ldots \mathrm {N(NA)} _{cd}.\mathrm {A(AB)} _{cd}.Sin.(\mathrm {BC} ,cd).\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {MN.A(NA)} _{lm}.\mathrm {B(AB)} _{lm}\ldots \mathrm {I(HI)} _{lm}.\mathrm {K(IK)} _{lm}.Sin.(\mathrm {MN} ,lm)\\\qquad =\mathrm {KL.N(NA)} _{lm}.\mathrm {A(AB)} _{lm}\ldots \mathrm {H(HI)} _{lm}.\mathrm {I(IK)} _{lm}.Sin.(\mathrm {KL} ,lm).\\\mathrm {NA.B(AB)} _{mn}.\mathrm {C(BC)} _{mn}\ldots \mathrm {K(IK)} _{mn}.\mathrm {L(KL)} _{mn}.Sin.(\mathrm {NA} ,mn)\\\qquad =\mathrm {LM.A(AB)} _{mn}.\mathrm {B(BC)} _{mn}\ldots \mathrm {I(IK)} _{mn}.\mathrm {K(KL)} _{mn}.Sin.(\mathrm {LM} ,mn).\\\mathrm {AB.C(BC)} _{na}.\mathrm {D(CD)} _{na}\ldots \mathrm {L(KL)} _{na}.\mathrm {M(LM)} _{na}.Sin.(\mathrm {AB} ,na)\\\qquad =\mathrm {MN.B(BC)} _{na}.\mathrm {C(CD)} _{na}\ldots \mathrm {K(KL)} _{na}.\mathrm {L(LM)} _{na}.Sin.(\mathrm {MN} ,na),\end{array}}\right\}(3)$

Considérons présentement le tétraèdre $\mathrm {PNAB} \,;$ en désignant respectivement par $\mathrm {NN'}$ et $\mathrm {BB'}$ les perpendiculaires abaissées de ses sommets $\mathrm {N}$ et $\mathrm {B}$ sur les plans des faces opposées $\mathrm {APB}$ et $\mathrm {NPA} ,$ son volume pourra également être exprimé par les deux produits

$\mathrm {APB={\frac {1}{3}}NN',\qquad NPA={\frac {1}{3}}BB'} \,;$

d’où il suit qu’on aura

$\mathrm {NPA.BB'=APB.NN'} \,;$

mais on a évidemment

$\mathrm {BB'=AB} .Sin.(\mathrm {AB} ,na),\qquad \mathrm {NN'=NA} .Sin.(\mathrm {NA} ,ab)\,;$

il viendra donc, en substituant,