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d’où résulte, entre les longueurs des rayons vecteurs correspondant des deux courbes l’équation de relation

$lh=a^{2}.$

On peut déduire de ces équations une construction simultanée des deux courbes.

Sur le demi-axe transverse $\mathrm {CA}$ (fig. 6) soit décrite une circonférence, à laquelle soit menée la tangente $\mathrm {AD}$. Soient menées arbitrairement, par le centre, les deux droites $\mathrm {CE,CE'}$ faisant des angles égaux avec $\mathrm {CA}$, et coupant le cercle en $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F'}$. Soit pris l’arc $\mathrm {FG=FA}$, et soit portée la corde $\mathrm {CG}$ de $\mathrm {C}$ en $\mathrm {K}$. Soit élevée à $\mathrm {CA}$ la perpendiculaire $\mathrm {KM}$ rencontrant la circonférence en $\mathrm {M}$ et soit menée $\mathrm {CM}$, coupant $\mathrm {AD}$ en $\mathrm {N}$. Si alors du point $\mathrm {C}$ comme centre commun, et avec $\mathrm {CM}$ et $\mathrm {CN}$ pour rayon, on décrit deux cercles concentriques, le plus grand coupera nos arbitraires en quatre points $\mathrm {H,H',H'',H'''}$, qui appartiendront à l’hyperbole, et le plus petit coupera ces mêmes droites en quatre autres points $\mathrm {L,L',L'',L'''}$, qui appartiendront à la lemniscate.

En effet, 1.^o en abaissant la perpendiculaire $\mathrm {GP}$ sur le diamètre, on aura

$\mathrm {{\overline {CH}}^{2}={\overline {CN}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+{\overline {AN}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+\left({\frac {CA.KM}{CK}}\right)^{2}}$

$=\mathrm {{\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CK}}^{2}+{\overline {KM}}^{2}}{CK^{2}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CM}}^{2}}{{\overline {CK}}^{2}}}} ,$

ou bien

$\mathrm {{\overline {CH}}^{2}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CM}}^{2}}{{\overline {CG}}^{2}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {\overline {CK}}{\overline {CP}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {CG}{CP}}} \,;$

c’est-à-dire,

$z^{2}=a^{2}\operatorname {Sec} .2u,\quad$ou$\quad a^{2}=z^{2}\operatorname {Cos} .2u.$

On aura, 2.^o 

$\mathrm {{\overline {CL}}^{2}={\overline {CM}}^{2}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CK}}^{2}}{{\overline {CM}}^{2}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CG}}^{2}}{{\overline {CM}}^{2}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {CP}{CK}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {CP}{CG}}} \,;$

c’est-à-dire,

$l^{2}=a^{2}\operatorname {Cos} .2u.$