Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/229

$\mathrm {PA} Sin.\mathrm {PAB} =\mathrm {PB} Sin.\mathrm {PAB} .$

Chaque côté du polygone devant donc fournir une équation analogue, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {PA} Sin.\mathrm {PAB} =\mathrm {PB} Sin.\mathrm {PBA} ,\\\\&\mathrm {PB} Sin.\mathrm {PBC} =\mathrm {PC} Sin.\mathrm {PCB} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\mathrm {PM} Sin.\mathrm {PMN} =\mathrm {PN} Sin.\mathrm {PNM} ,\\\\&\mathrm {PN} Sin.\mathrm {PNA} =\mathrm {PA} Sin.\mathrm {PAN} ,\end{aligned}}$

équations qui par leur multiplication membre à membre et la suppression des facteurs communs aux deux membres de l’équation résultante, donneront

$Sin.\mathrm {PAB} .Sin.\mathrm {PBC} \ldots Sin.\mathrm {PMN} .Sin.\mathrm {PNA}$

$=Sin.\mathrm {PAN} .Sin.\mathrm {PBA} \ldots Sin.\mathrm {PML} .Sin.\mathrm {PMN} .\qquad$(2)

On voit, en vertu de cette dernière équation, que, si l’on prend le produit des équations (1) membre à membre, les sinus disparaîtront des deux membres de l’équation résultante ; il est d’ailleurs visible que les côtés du polygone en disparaîtront aussi ; de sorte qu’il ne restera plus, de part et d’autre, que les produits de segmens dont il s’agissait précisément de démontrer l’égalité.

THÉORÈME I. Soit, dans l’espace, un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche, de $\mathrm {n}$ côtés, $\mathrm {ABC\ldots LMN,}$ et une droite indéfinie, aussi quelconque. Soient menés, par cette droite et par les $\mathrm {n}$ côtés du polygone, un pareil nombre de plans. Chacun d’eux, par ses $\mathrm {n-2}$ intersections avec les côtés du polygone