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$0>a^{4}-4a^{2}b^{2}+4b^{4}\quad$ou$\quad 0>\left(a^{2}-2b^{2}\right)^{2},$

ce qui est absurde.

On voit que, lorsqu’on aura $a^{2}=2b^{2},$ ces points se confondront avec les sommets de l’ellipse ; mais qu’ils se rapprocheront de plus en plus de son centre à mesure que $a$ deviendra plus grand par rapport à $b\,;$ ils ne pourront toutefois se confondre avec ce centre que lorsque $a$ sera infini. En particulier, ils se confondront avec les foyers de l’ellipse lorsqu’on aura $a=2b.$ On a alors $p={\sqrt {2}}.$

Pour pouvoir suivre plus exactement toutes les circonstances du cours de la courbe, cherchons ses limites extrêmes dans le sens des $x$ et dans celui des $y.$ Pour cela différentions les équations (7), en y considérant $z$ comme la variable indépendante, il viendra ainsi

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}&=a.{\frac {\left(b^{2}-c^{2}\right)z+3a^{2}c^{2}}{2z^{4}}}{\sqrt {\frac {z^{4}}{z-a^{2}}}},\\\\{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}&=-{\frac {a}{b}}.{\frac {\left(b^{2}-c^{2}\right)z+3a^{2}c^{2}}{2z^{4}}}{\sqrt {z^{3}}}.\end{aligned}}$

Les valeurs de $z$ qui rendront $x$ ou $y$ les plus grands ou les plus petits possibles seront donc celles qui rendront ces coefficiens différentiels nuls. Or, en faisant abstraction des cas déjà discutés, on voit qu’elles deviendront nulles l’une et l’autre en posant

$z=-{\frac {3a^{2}c^{2}}{b^{2}-c^{2}}},$

il en résulte

$z+c^{2}=2c^{2}{\frac {a^{2}+b^{2}}{b^{2}-c^{2}}},\quad z-a^{2}=-a^{2}.{\frac {a^{2}+c^{2}}{b^{2}-c^{2}}},\quad \left(b^{2}-c^{2}\right)z+a^{2}c^{2}=-2a^{2}c^{2},$

et par suite