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de la même courbe sur le plan des $xy,$ laquelle sera la courbe cherchée^[1].

Mais on peut fort bien discuter la courbe et découvrir toutes les circonstances de son cours, sans qu’il soit pour cela nécessaire de la construire ; et d’abord on voit clairement que cette courbe est symétrique par rapport à chacun des axes des coordonnées, qui en sont conséquemment des diamètres principaux, puisqu’à chaque valeur de $z$ répondent pour $x$ et $y$ deux valeurs égales et de signes contraires ; c’est d’ailleurs une conséquence de sa définition.

Si l’on veut savoir en quels points la courbe coupe l’axe des $y,$ il faudra faire $x=0,$ dans la première des deux équations (7), ce qui donnera, pour la seule valeur de $z$ qui puisse répondre à cette circonstance $z=a^{2},$ valeur qui, substituée dans celle de $y^{2}$ et dans la formule (6) donne $y=\pm b$ et $p=0\,;$ ainsi la courbe touche l’ellipse aux deux extrémités de son petit axe, et ces points sont les seuls qu’elle puisse avoir de communs avec cet axe.

Quant aux intersections de la courbe avec l’axe des $x,$ il est nécessaire de distinguer trois cas, qui sont ceux de $b^{2}=c^{2},\ b^{2}>c^{2}$ et $b^{2}<c^{2}.$ Supposons d’abord $b^{2}=c^{2}$ ou $a^{2}=2b^{2}$^[2] ; nous trouverons $y^{2}={\frac {8b^{8}}{z^{3}}},$ valeur qui ne saurait être nulle que lorsque $z$ est infini ; cela donne $x=\pm a$ et $p=\infty \,;$ ainsi, dans ce cas, la courbe

1. Cette ressource, qui n’est point ici indispensable, est quelquefois la seule dont on puisse user, lorsque la troisième variable à éliminer entre d’une manière transcendante dans l’une ou l’autre des équations, ou dans toutes les deux. Elle présente toutefois cet inconvénient que des valeurs réelles de $x$ et $y$ peuvent fort bien répondre à des valeurs imaginaires de $z,$ et qu’alors il devient impossible de les construire.
   J. D. G.
2. C’est le cas de l’ellipse dont il a déjà été question dans le présent volume (pag. 17).
   J. D. G.