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L’équation de la perpendiculaire menée du centre sur cette tangente est

$a^{2}xy'+b^{2}yx'=0.\qquad$(4)

Son pied étant donné par le système des équations (2, 4), lesquelles $x'$ et $y'$ sont liées par la relation (3) ; il s’ensuit qu’en éliminant $x',y'$ entre ces trois équations, l’équation résultante en $x$ et $y$ sera celle du lieu des pieds de toutes les perpendiculaires menées du centre de la courbe sur ces tangentes.

Or, on tire des équations (2 et 4)

${\frac {x'}{a}}=+{\frac {ax}{x^{2}+y^{2}}},\qquad {\frac {y'}{b}}=-{\frac {by}{x^{2}+y^{2}}},$

valeurs qui, substituées dans l’équation (3), donnent pour celle du lieu cherché

$a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\,;$

c’est l’équation générale de la lemniscate.

Pour passer à son équation polaire, nous poserons

$x=l\operatorname {Cos} .u,\qquad y=l\operatorname {Sin} .u,$

et cette équation polaire sera ainsi

$l^{2}=a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}u-b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}u.$

Quant à l’hyperbole, en appelant $h$ son rayon vecteur répondant à l’angle $u,$ son équation deviendra

$h^{2}\left(b^{2}\operatorname {Cos} .^{2}u-a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}u\right)=a^{2}b^{2}.$

Mais, dans le cas particulier qui nous occupe, et où il s’agit d’une hyperbole équilatère, on a $b=a\,;$ en sorte que l’équation polaire de l’hyperbole devient simplement

$a^{2}=h^{2}\operatorname {Cos} .2u,\qquad$(5)

et celle de la lemniscate

$l^{2}=a^{2}\operatorname {Cos} .2u.\qquad$(6)