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considérant $t$ et $u$ comme deux constantes liées par l’équation (1), et conséquemment équivalentes à une seule, est l’équation primitive complète de toutes les droites auxquelles la courbe cherchée doit être tangente. En la différentiant donc par rapport à $x$ et $y$ seulement, et éliminant ensuite $t$ et $u$ entre l’équation résultante et les équations (1) (2), on obtiendra l’équation différentielle commune à toutes nos droites, privée de ses deux constantes ; de sorte que l’équation de la courbe cherchée en sera la solution particulière.

Or, en posant, suivant l’usage, ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=p,$ la différentielle de l’équation (2) est

$t+pu=0.$

Tirant de là la valeur de $t,$ pour la substituer dans les équations (1) et (2), il viendra

$\left(a^{2}+b^{2}p^{2}\right)u^{2}=a^{2}b^{2},\qquad y-px=\left(1+p^{2}\right)u\,;$

éliminant enfin $u$ entre ces deux-ci, on aura, pour l’équation différentielle commune à toutes les droites auxquelles la courbe cherchée doit être tangente,

$y-px={\frac {ab\left(1+p^{2}\right)}{\sqrt {a^{2}+b^{2}p^{2}}}}\,;\qquad$(4)

et l’équation de la courbe cherchée sera la solution particulière de cette dernière.

Suivant donc les principes connus, nous différentierons cette dernière équation, ce qui donnera, en supprimant le facteur $q,$ dont l’égalité à zéro répondrait à l’intégrale complète,

$x=-abp.{\frac {\left(a^{2}+b^{2}p^{2}\right)+\left(a^{2}-b^{2}\right)}{\left(a^{2}+b^{2}p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\qquad$(5)