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l’équation de la perpendiculaire à cette droite par le même point sera donc

$y-u=-{\frac {t}{u}}(x-t),$

c’est-à-dire,

$tx+uy=t^{2}+u^{2}\qquad$(2)

où $t$ et $u$ sont deux paramètres indéterminés, liés entre eux par la relation (1).

Suivant donc les principes sur la matière^[1], il faudra, pour obtenir l’équation de la courbe cherchée, éliminer $t$ et $u,$ entre les équations (1) et (2) et celle qu’on obtiendra en éliminant $\operatorname {d} t$ et $\operatorname {d} u$ entre leurs différentielles, prises par rapport à ces seules lettres. Or ces différentielles sont

$b^{2}t\operatorname {d} t+a^{2}u\operatorname {d} u=0,$

$(y-2u)\operatorname {d} u+(x-2t)\operatorname {d} t=0\,;$

lesquelles, en transposant et multipliant ensuite membre à membre, donnent, pour la troisième équation cherchée,

$a^{2}ux-b^{2}ty=2\left(a^{2}-b^{2}\right)tu.\qquad$(3)

L’équation de la courbe cherchée sera donc le résultat de l’élimination de $t$ et $u$ entre ces trois-là.

Au lieu de ramener le problème à éliminer deux quantités entre trois équations, on peut facilement le réduire à en éliminer une seule entre deux. Remarquons pour cela que l’équation (2), en $y$

1. Tom. III, pag. 361.