Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/205

en désignant par $x'$ et $y'$ les coordonnées de la courbe cherchée, prenant le méridien développé pour axe des $y'$ et le développement du parallèle qui répond à l’origine des $y$ pour axe des $x',$ représentant encore par $\alpha$ la fraction de chaque demi-parallèle que l’on développe de part et d’autre du méridien redressé, et enfin par $s$ l’axe de la courbe génératrice qui répond à $y',$ on aura

$y'=s,\qquad x'=\alpha x\,;$

et la question se réduira à éliminer $x,y$ et $s$ entre ces deux équations et les deux équations

$y=\operatorname {f} (x),\qquad \operatorname {d} s^{2}=\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}.$

L’élimination donne finalement

$\alpha {\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}={\sqrt {1+\left[\operatorname {f} (\left({\frac {x'}{\alpha '}}\right)\right]^{2}}},\qquad$(4)

où ${\mathcal {f}}'$ désigne la dérivée de la fonction représentée par ${\mathcal {f}}\,;$ et telle est conséquemment l’équation différentielle de la courbe cherchée.

S’il s’agit, par exemple, d’une sphère dont le rayon est $r,$ en prenant l’origine de la génératrice au centre, l’équation de cette génératrice sera

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,;$

on aura donc ici

$\operatorname {f} (x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad$d’où$\quad \operatorname {f} '(x)=-{\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}},$

et par conséquent

$\operatorname {f} '\left({\frac {x'}{\alpha }}\right)=-{\frac {x'}{\sqrt {\alpha ^{2}r^{2}-x'^{2}}}}\,;$

ce qui donnera, en substituant dans l’équation (4),

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x'}}=\pm {\frac {r}{\sqrt {\alpha ^{2}r^{2}-x'^{2}}}},$

qui est précisément l’équation (3) dans laquelle on aurait mis pour $\operatorname {Sin} .{\frac {y}{r}}$ sa valeur donnée par l’équation (1).

On se convaincra encore facilement ici que chaque portion de la