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${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {1}{\pi }}=-0,3183100\,;$

ce nombre, considéré comme tangente tabulaire répond à un arc d’environ $17^{\circ }.39'.24''\,;$ tel est donc l’angle que feront avec l’axe des $x,$ dans ce cas, les tangentes menées à la courbe à l’extrémité du petit axe.

En multipliant l’équation (1) par $\operatorname {d} y,$ on peut lui donner cette forme

$x\operatorname {d} y=\alpha r^{2}.\operatorname {d} {\frac {y}{r}}.\operatorname {Cos} .{\frac {y}{r}}=\alpha r^{2}.\operatorname {Sin} .{\frac {y}{r}}\,;$

ce qui donne en intégrant

$\int x\operatorname {d} y=C+\alpha r^{2}.\operatorname {Sin} .{\frac {y}{r}}\,;$

prenant cette intégrale entre $y$ et $y'$ et entre $\alpha$ et $\alpha ',$ nous aurons, pour la portion de la surface de notre courbe comprise entre les développemens des parallèles qui répondent aux latitudes ${\frac {y}{r}}$ et ${\frac {y'}{r}}$ et les développemens des méridiens qui répondent aux longitudes $\alpha$ et $\alpha '$

$r^{2}(\alpha '-\alpha )\left(\operatorname {Sin} .{\frac {y'}{r}}-\operatorname {Sin} .{\frac {y}{r}}\right)\,;$

or, il est aisé de voir que cette expression est aussi celle de l’aire du quadrilatère sphérique dont notre quadrilatère plan mixtiligne est le développement, et il est facile d’en conclure que si, sur la sphère, on trace une figure fermée quelconque, le développement de cette figure sur le développement plan de cette sphère, exécuté comme nous le concevons ici, sera une figure plane équivalente à la portion de surface sphérique circonscrite par la première.

Donc, en particulier, la surface plane totale dont il est question dans l’énoncé du problème sera équivalente à celle de la sphère,