pôle à l’autre ; par les points de cette droite on lui a élevé des perpendiculaires que l’on a fait de part et d’autre égales en longueur à la moitié du parallèle passant par le point correspondant du demi-méridien ; on demande sur quelle courbe fermée se trouvent les extrémités de ces perpendiculaires et quelle est la surface circonscrite par cette courbe.
Solution. Pour plus de généralité, ne considérons qu’un simple fuseau sphérique. Supposons qu’ayant tracé le demi-méridien qui le divise en deux parties égales et les arcs de parallèles qui répondent à tous ses points, on étende ce demi-méridien en ligne droite en redressant les arcs de parallèles qui y ont leurs milieux, de manière à les faire devenir des droites perpendiculaires à celle-là, toutes situées dans un même plan ; on obtiendra ainsi une sorte de développement du fuseau dont il s’agit ; et la question consistera à savoir quelle figure affectera ce développement et quelle en sera la surface.
On voit d’abord aisément que le développement du demi-méridien du milieu du fuseau et celui de l’arc de l’équateur que ce fuseau intercepte seront deux diamètres principaux de la courbe cherchée. Nous prendrons le premier pour axe des et le second pour axe des de manière que l’origine sera le centre de la courbe.
En représentant à l’ordinaire par deux angles droits et nommant l’angle que forment entre eux les plans des méridiens extrêmes du fuseau, si l’on désigne par le rayon de la sphère, les longueurs des deux demi-diamètres de la courbe dirigés suivant l’axe des et celui des seront respectivement
Les coordonnées de l’un quelconque des points de la courbe seront le demi-arc de parallèle répondant à une latitude quelconque et l’arc du méridien du milieu du fuseau compris entre l’équateur et ce même parallèle ; de sorte qu’on aura
