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$\operatorname {d} .{\sqrt {(z-c)^{2}+(x+y)(z-c)+\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)}}$

$=-{\frac {1}{3}}\operatorname {d} .{\sqrt {(z-c)^{2}+5(x+y)(z-c)+\left(13x^{2}-xy+13y^{2}\right)}}\,;$

d’où en intégrant

$C+3{\sqrt {(z-c)^{2}+(x+y)(z-c)+\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)}}$

$+{\sqrt {(z-c)^{2}+5(x+y)(z-c)+\left(13x^{2}-xy+13y^{2}\right)}}=0,$

Le problème, à raison de la constante $C,$ a donc une infinité de solutions. En posant cette constante nulle, et chassant les radicaux, il vient, en réduisant,

$2(z-c)^{2}+(x+y)(z-c)-\left(x+y^{2}\right)=0,$

ou bien

$(x+y+z-c)\left\{2(z-c)-(x+y)\right\}=0\,;$

équation commune de deux plans dont les équations individuelles sont

$x+y+z=c,\qquad x+y=2(z-c)\,;$

ce sont les équations des deux plans perpendiculaires l’un à l’autre qui divisent en deux parties égales les quatre angles formés par les axes des deux cylindres et sont perpendiculaires au plan de ces axes. On reconnaît le premier pour le plan réfléchissant des exemples précédens.

32. Dans l’exemple que nous avons choisi, nous étions bien sûrs de rencontrer une équation différentielle intégrable, puisque le problème que nous nous étions proposé n’était que le renversement d’un problème antérieurement résolu ; m, mais il est très-aisé de