Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/183

$bA=aB,$

$AB=ab\left(A^{2}+B^{2}+2pA+2qB+k\right)\,;$

on en tirera alors, par élimination

${\frac {A}{a}}={\frac {B}{b}}={\frac {-(pa+qb)\pm {\sqrt {(pa+qb)^{2}-k\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}}}{a^{2}+b^{2}-1}},$

c’est-à-dire,

${\begin{aligned}&A=a.{\frac {-(pa+qb)\pm {\sqrt {(pa+qb)^{2}-k\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}}}{a^{2}+b^{2}-1}},\\\\&B=b.{\frac {-(pa+qb)\pm {\sqrt {(pa+qb)^{2}-k\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}}}{a^{2}+b^{2}-1}}.\end{aligned}}$

En remettant pour $A,B,a,b$ leurs valeurs et posant, pour abréger,

$1+P'^{2}+Q'^{2}=g,\qquad 1+pP'+qQ'=h,\qquad (\varpi )$

il viendra

$\left.{\begin{aligned}P''-p&=\lambda ''(P'-p).{\frac {\lambda ''(k-h)\pm {\sqrt {\lambda ''^{2}h^{2}+\left(\lambda '^{2}-\lambda ''^{2}\right)gk}}}{\lambda ''^{2}(k-2h)-\left(\lambda '^{2}-\lambda ''^{2}\right)g}},\\\\Q''-q&=\lambda ''(Q'-q).{\frac {\lambda ''(k-h)\pm {\sqrt {\lambda ''^{2}h^{2}+\left(\lambda '^{2}-\lambda ''^{2}\right)gk}}}{\lambda ''^{2}(k-2h)-\left(\lambda '^{2}-\lambda ''^{2}\right)g}}.\end{aligned}}\right\}\quad (\rho )$

Il est visible (21) que, pour le cas de la réfraction, où lorsqu’on fait $\lambda ''=\lambda ',$ on doit avoir $P''=P'$ et $Q''=Q',$ ce sera les signes inférieurs qu’il faudra prendre ; d’où il suit que, pour le cas de la réflexion, il faudra prendre les signes supérieurs, en posant $\lambda ''=\lambda '.$ Alors les formules se simplifieront d’une manière notable, et l’on aura