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à laquelle donnent naissance des rayons qui, émanés du point fixe, ont subi des réflexions et des réfractions en nombre quelconque, et que conséquemment l’étude de toutes les circonstances de la vision ; dans les cas même les plus compliqués, se réduit finalement à la recherche de la surface, lieu des centres de courbure d’une certaine surface déterminée. C’est la recherche de cette dernière surface qui doit donc présentement nous occuper.

29. Mais, pour parvenir au but, il nous faut d’abord résoudre, par rapport à $P''$ et $Q'',$ les équations (I) et (II) ou, ce qui revient au même, les équations (III), par lesquelles nous les avons remplacées (22). Pour y parvenir simplement, posons

$\pm {\frac {\lambda ''}{\lambda '}}{\frac {P'-p}{\sqrt {1+P'^{2}+Q'^{2}}}}=a,\qquad \pm {\frac {\lambda ''}{\lambda '}}.{\frac {Q'-q}{\sqrt {1+P'^{2}+Q'^{2}}}}=b\,;$

ces équations deviendront ainsi

${\begin{aligned}P''-p&=a{\sqrt {1+P''^{2}+Q''^{2}}}\\\\Q''-q&=b{\sqrt {1+P''^{2}+Q''^{2}}},\end{aligned}}$

qui, successivement divisées et multipliées membre à donnent

$b(P''-p)=a(Q''-q),$

$(P''-p)(Q''-q)=ab(1+P''^{2}+Q''^{2})^{2}\,;$

posant alors

$P''-p=A,\quad Q''-q=B,\quad 1+p^{2}+q^{2}=k,\qquad$(o)

et remarquant que

$1+P''^{2}+Q''^{2}=(P''-p)^{2}+(Q''-q)^{2}+2p(P''-p)+2q(Q''-q)+\left(1+p^{2}+q^{2}\right),$

on pourra leur donner cette autre forme