Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/176

ture des milieux séparés par cette surface soit connue, $P''$ et $Q''$ seront des fonctions déterminées, bien qu’encore inconnues, de $P'$ et $Q',$ et par suite de $x$ et $y.$ Cherchons, d’après les lois de l’optique, les valeurs de ces deux fonctions.

Les équations de la normale au point d’incidence sont

$X-x+p(Z-z)=0,\qquad Y-y+q(Z-z)=0\,;\qquad$(N)

et l’on sait que d’abord elle doit se trouver dans un même plan avec le rayon incident et le rayon réfléchi ou réfracté ; ce qui donne, pour première équation du problème,

${\frac {P'-p}{Q'-q}}={\frac {P''-p}{Q''-q}}.\qquad$(I)

En second lieu, s’il s’agit de réflexion, on devra avoir

$\operatorname {Sin} .(R',N)=-\operatorname {Sin} .(R'',N)\quad$ou$\quad \operatorname {Sin} .^{2}(R',N)=\operatorname {Sin} .^{2}(R'',N)\,;$

tandis que, s’il s’agit de réfraction, on aura

${\frac {\operatorname {Sin} .(R',N)}{\lambda '}}={\frac {\operatorname {Sin} .(R'',N)}{\lambda ''}}\quad$ou$\quad {\frac {\operatorname {Sin} .^{2}(R',N)}{\lambda '^{2}}}={\frac {\operatorname {Sin} .^{2}(R'',N)}{\lambda ''^{2}}}\,;$

$\lambda '$ et $\lambda ''$ étant deux nombres constants, dépendant de la nature des milieux séparés par la surface (s). On voit par là que le cas de la réflexion rentre, comme cas particulier, dans celui de la réfraction, et qu’il se déduit de ce dernier en posant $\lambda ''=-\lambda '\,;$ de sorte qu’il nous suffira de nous occuper de ce dernier.

Or, on a, par les formules connues

$\operatorname {Cos} .(R',N)={\frac {1+pP'+qQ'}{\sqrt {\left(1+p^{2}+q^{2}\right)\left(1+P'^{2}+Q'^{2}\right)}}},$

$\quad \operatorname {Cos} .(R'',N)={\frac {1+pP''+qQ''}{\sqrt {\left(1+p^{2}+q^{2}\right)\left(1+P''^{2}+Q''^{2}\right)}}},$

d’où