Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/157

de sorte que toute la question se réduira à traduire cette dernière en données primitives du problème, c’est-à-dire, à en éliminer $x',y',z'$ au moyen des relations qui les lient à $x,y,z.$

Pour cela, nous remarquerons d’abord que $P$ et $Q$ n’étant fonctions de $x'$ et $y'$ que par l’intermédiaire de $x$ et $y,$ on doit avoir

$\left.{\begin{array}{ll}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x'}}={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} x'}}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x'}},&{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y'}}={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y'}}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} y'}},\\\\{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y'}}={\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y'}}+{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} y'}},&{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x'}}={\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} x'}}+{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x'}},\end{array}}\right\}\quad (\beta )$

au moyen de quoi la condition $(\alpha )$ se transforme en

${\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y'}}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} y'}}={\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} x'}}+{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} y'}}.\qquad (\gamma )$

D’un autre côté, nous avons (5) les deux équations

$x-x'+P(z-z')=0,\qquad y-y'+Q(z-z')=0$

que nous pouvons différentier, l’une et l’autre, successivement par rapport à $x'$ et par rapport à $y'.$ En ayant égard aux relations $(\beta ),$ observant d’ailleurs que

${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x'}}=p{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} x'}}+q{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x'}},\qquad {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y'}}=p{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y'}}+q{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} y'}},$

qu’en outre

${\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}=p'=P,\qquad {\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} y'}}=q'=Q,$

et posant enfin, pour abréger,