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Appliquons ces considérations au faisceau de droites donné par les trois équations

$x+y+z=c,$

$X-x+{\frac {2y-x}{z-c}}(Z-z)=0,\qquad Y-y+{\frac {2x-y}{z-c}}(Z-z)=0.$

Ayant ici

$P={\frac {2y-x}{z-c}},\qquad Q={\frac {2x-y}{z-c}},\qquad p=q=-1,$

les deux équations du problème seront

${\frac {2y-x}{z-c}}=-1,\qquad {\frac {2x-y}{z-c}}=-1\,;$

c’est-à-dire,

$(z-c)+(2y-x)=0,\qquad (z-c)+(2x-y)=0\,;$

équations qui, conjointement avec l’équation

$x+y+z=c,$

de la base du faisceau, sont satisfaites en posant

$x=y=0,\qquad z=c\,;$

mais il est aisé de voir (2) que cette solution ne saurait être admise. Elle se trouve introduite à raison de la forme ${\frac {0}{0}}$ que prennent alors $P$ et $Q.$

5. La base d’un faisceau de droite étant une surface tout-à-fait arbitraire, on peut se proposer de substituer une nouvelle base à une base donnée. Les équations générales des droites du faisceau changent alors de forme ; et on opère ainsi une transformation assez analogue à celle des coordonnées. Mais voyons auparavant comment