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$X-x={\frac {x-x'}{z-z'}}(Z-z),\qquad Y-y={\frac {y-y'}{z-z'}}(Z-c).$

La condition de perpendicularité donnera ensuite

$1-{\frac {x-x'}{z-z'}}-{\frac {y-y'}{z-z'}}=0,$

ou

$z-z'=(x-x')+(y-y')\,;$

nous aurons donc, entre $x',y',z'$ trois équations desquelles nous tirerons

$x'=y'=-(z'-c)=-{\frac {(z-c)-(x+y)}{3}},$

et de là

$x-x'={\frac {(z-c)+(2x-y)}{3}},\quad y-y'={\frac {(z-c)+(2y-x)}{3}},$

$z-z'={\frac {2(z-c)+(x+y)}{3}}\,;$

d’où

${\frac {x-x'}{z-z'}}={\frac {(z-c)+(2x-y)}{2(z-c)+(x+y)}},\qquad {\frac {y-y'}{z-z'}}={\frac {(z-c)+(2y-x)}{2(z-c)+(x+y)}},$

de sorte que les équations générales des droites du faisceau seront

$X-x-{\frac {(z-c)+(2x-y)}{2(z-c)+(x+y)}}(Z-z)=0,\ Y-y-{\frac {(z-c)+(2y-x)}{2(z-c)+(x+y)}}(Z-z)=0,$

qu’au moyen de l’équation de la base, on pourra réduire ensuite à

$X-x+{\frac {2y-x}{z-c}}(Z-z)=0,\qquad Y-y+{\frac {2x-y}{z-c}}(Z-z)=0\,;$

c’est précisément le faisceau que nous avions d’abord pris pour