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${\frac {y\operatorname {d} y}{(y+n){\sqrt {1-y^{2}}}}},$

qu’il faudra intégrer entre $y=0$ et $y=1.$

Nous poserons ensuite

${\sqrt {1-y^{2}}}=t(1-y),$

d’où

$y={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\quad \operatorname {d} y={\frac {4t\operatorname {d} t}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}},\quad {\sqrt {1-y^{2}}}={\frac {2t}{t^{2}+1}}\,;$

ce qui donnera, en substituant,

${\frac {2\left(t^{2}-1\right)\operatorname {d} t}{\left(t^{2}+1\right)\left[(n+1)t^{2}+(n-1)\right]}}\,;$

différentielle qui se rapporte aux fractions rationnelles, et dont il faudra prendre l’intégrale entre $t=1$ et $t=\infty .$

Mais pour poursuivre l’intégration sans tomber dans les imaginaires ou dans l’indétermination, il est nécessaire de distinguer les trois cas de $n>1,\ n<1,\ n=1\,;$ on obtiendra alors les intégrales définies que voici :

Pour $n>1,\ldots {\frac {\varpi }{2}}-{\frac {n}{\sqrt {n^{2}-1}}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {1}{n}}\right),$

Pour $n<1,\ldots {\frac {\varpi }{2}}+{\frac {n}{\sqrt {1-n^{2}}}}\operatorname {Log} .{\frac {1-{\sqrt {1-n^{2}}}}{n}},$

Pour $n=1,\ldots {\frac {\varpi }{2}}-1.$

En achevant le calcul, comme il a été dit ci-dessus, et ayant toujours égard aux limites des intégrales, on trouvera finalement, en doublant le résultat,