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${\frac {\operatorname {Cos} .(r,x)}{\operatorname {Cos} .(n,x)}}={\frac {\operatorname {Cos} .(r,y)}{\operatorname {Cos} .(n,y)}}={\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}},$

et les autres équations analogues, d’où

${\begin{array}{ll}\operatorname {Cos} .(r,x)=\operatorname {Cos} .(n,x),&\operatorname {Cos} .(r',x)=\operatorname {Cos} .(n',x),\ldots \\\operatorname {Cos} .(r,y)=\operatorname {Cos} .(n,y),&\operatorname {Cos} .(r',y)=\operatorname {Cos} .(n',y),\ldots \\\operatorname {Cos} .(r,z)=\operatorname {Cos} .(n,z),&\operatorname {Cos} .(r',z)=\operatorname {Cos} .(n',z),\ldots \end{array}}$

ce qui montre que les droites $r,r',r'',\ldots$ doivent aussi être respectivement normales aux surfaces auxquelles elles se terminant.

Concevons présentement que le point $\mathrm {M}$ soit sollicité par des forces proportionnelles à $P,Q,R,P',Q',R',\ldots$ et dirigé suivant les droites $p,q,r,p',q',r',\ldots$ respectivement.

Soit $V$ la résultante de toutes ces forces, et soient $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles qu’elle fait avec les axes. Les quantités qui multiplient $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,$ dans l’équation (I) reviennent visiblement à $V\operatorname {Cos} .\alpha ,V\operatorname {Cos} .\beta ,V\operatorname {Cos} .\gamma \,;$ de sorte que cette équation, de laquelle nous avons déjà fait disparaître les derniers termes, se réduit à

$V\left(\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .\gamma \right)=0.\qquad$(II)

Celle-ci sera toujours satisfaite, lorsqu’on aura $V=0,$ c’est-à-dire, lorsque les forces proportionnelles à $P,Q,R,P',Q',R',\ldots$ se feront équilibre, à quelque conditions que le point $\mathrm {M}$ puisse être d’ailleurs assujetti.

Si ce point est parfaitement libre dans l’espace, les différentielles $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z$ seront indépendantes, et il faudra encore que $V=0\,;$ parce que $\operatorname {Cos} .\alpha ,\operatorname {Cos} .\beta ,\operatorname {Cos} .\gamma$ ne sauraient être nuls à la fois.