Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/120

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

En substituant donc ces diverses valeurs dans l’équation

P\operatorname {d} p+P'\operatorname {d} p'+\ldots +Q\operatorname {d} q+Q'\operatorname {d} q'+\ldots +R\operatorname {d} r+R'\operatorname {d} r'+\ldots =0,

que nous avons vu ci-dessus exprimer la condition commune au maximum et au minimum, elle deviendra, en employant le signe $\Sigma ,$ par forme d’abréviation,

{\begin{aligned}&\left\{\Sigma \left[P\operatorname {Cos} .(p,x)\right]+\Sigma \left[Q\operatorname {Cos} .(q,x)\right]+\Sigma \left[R\operatorname {Cos} .(r,x)\right]\right\}\operatorname {d} x\\\\+&\left\{\Sigma \left[P\operatorname {Cos} .(p,y)\right]+\Sigma \left[Q\operatorname {Cos} .(q,y)\right]+\Sigma \left[R\operatorname {Cos} .(r,y)\right]\right\}\operatorname {d} y\\\\+&\left\{\Sigma \left[P\operatorname {Cos} .(p,z)\right]+\Sigma \left[Q\operatorname {Cos} .(q,z)\right]+\Sigma \left[R\operatorname {Cos} .(r,z)\right]\right\}\operatorname {d} z\\\\&\qquad \qquad -\Sigma \left\{Q\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,q)\right\}\\\\+&\Sigma \left\{R\left[{\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(n,x)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}-\operatorname {Cos} .(r,x)\right]\operatorname {d} g\right\}\\\\+&\Sigma \left\{R\left[{\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(n,y)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}-\operatorname {Cos} .(r,y)\right]\operatorname {d} h\right\}=0.\quad (\mathrm {I} )\end{aligned}}

Or, présentement que les différentielîes $\operatorname {d} s,\operatorname {d} g,\operatorname {d} h,\operatorname {d} s',\operatorname {d} g',\operatorname {d} h',\ldots$ sont tout-à-fait indépendantes, il faudra, dans l’équation (I), égaler leurs coefficiens à zéro ; et comme d’ailleurs aucune des fonctions $Q,R,Q',R',\ldots$ ne doit être nulle, cela donnera d’abord

\operatorname {Cos} .(t,q)=0,\qquad \operatorname {Cos} .(t',q')=0,\qquad \operatorname {Cos} .(t'',q'')=0,

ce qui nous apprend, en premier lieu, que les droites $q,q',q'',\ldots$ doivent être respectivement perpendiculaires aux tangentes $t,t',t'',\ldots$ et par conséquent normales aux courbes auxquelles elles se terminant.

On aura ensuite