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Soient désignées par $t$ la tangente au point $(d,e,f)$ à la courbe sur laquelle ce point doit se trouver, et par $s$ l’arc de cette courbe, on aura

$\operatorname {d} d=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,x),\qquad \operatorname {d} e=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,y),\qquad \operatorname {d} f=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,z)\,;$

substituant ces valeurs dans celle de $\operatorname {d} q,$ en observant que

$\operatorname {Cos} .(t,x)\operatorname {Cos} .(q,x)+\operatorname {Cos} .(t,y)\operatorname {Cos} .(q,y)+\operatorname {Cos} .(t,z)\operatorname {Cos} .(q,z)=\operatorname {Cos} .(t,q)$

elle deviendra

$\operatorname {d} q=\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .(q,x)+\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .(q,y)+\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .(q,z)+\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,q)$ (2)

Soit ensuite désignée par $n$ la normale au point $(g,h,k)$ à la surface sur laquelle ce point doit se trouver ; l’équation différentielle de cette surface pourra, comme l’on sait, être mise sous la forme

$\operatorname {d} g\operatorname {Cos} .(n,x)+\operatorname {d} h\operatorname {Cos} .(n,y)+\operatorname {d} k\operatorname {Cos} .(n,z)=0,$

d’où

$-\operatorname {d} k={\frac {\operatorname {Cos} .(n,x)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}\operatorname {d} g+{\frac {\operatorname {Cos} .(n,y)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}\operatorname {d} h,$

valeur qui, substituée dans celle de $\operatorname {d} r,$ donnera

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {d} r&=\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .(r,x)+\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .(r,y)+\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .(r,z)\\&+\left\{{\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(n,x)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}-\operatorname {Cos} .(r,x)\right\}\operatorname {d} g\\\\&+\left\{{\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(n,y)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}-\operatorname {Cos} .(r,y)\right\}\operatorname {d} h\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(3)

et les valeurs de $\operatorname {d} q',\operatorname {d} r',\operatorname {d} q'',\operatorname {d} r'',\ldots$ seront susceptibles de transformations analogues.