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$h,k,g',h',k',g'',h'',k'',\ldots$ respectivement, les points d’où partent les droites $r,r',r'',\ldots$ pour se diriger vers le même point.

Convenons encore de désigner par $(p,x),(p,y),(p,z),(p',x),(p',y),$$(p',z),\ldots$ les angles que font les droites $p,p',\ldots$ avec les trois axes ; par $(q,x),(q,y),(q,z),(q',x),(q',y),(q',z),\ldots$ les angles que font les droites $q,q',\ldots$ avec ces axes ; et enfin par $(r,x),(r,y),(r,z),(r',x),(r',y),$$(r',z),\ldots$ les angles que font les droites $r,r',\ldots$ avec les mêmes axes ; et soient $x,y,z,$ les coordonnées du point $\mathrm {M.}$

La condition commune au maximum et au minimum de la fonction $u,$ est, comme l’on sait, que sa différentielle totale du premier ordre soit égale à zéro. Il est connu d’ailleurs que cette condition, toujours nécessaire pour qu’il y ait maximum ou minimum, ne suffit pas néanmoins, dans tous les cas, pour en assurer l’existence.

En posant donc, pour abréger,

${\begin{array}{lll}\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} p}}\right)=P,&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} p'}}\right)=P',&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} p''}}\right)=P'',\ldots \\\\\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} q}}\right)=Q,&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} q'}}\right)=Q',&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} q''}}\right)=Q'',\ldots \\\\\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r}}\right)=R,&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r'}}\right)=R',&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r''}}\right)=R'',\ldots \\\\\end{array}}$

l’équation commune au maximum et au minimum sera

$P\operatorname {d} p+P'\operatorname {d} p'+P''\operatorname {d} p''+\ldots +Q\operatorname {d} q+Q'\operatorname {d} q'+Q''\operatorname {d} q''+\ldots$

$+R\operatorname {d} r+R'\operatorname {d} r'+R''\operatorname {d} r''+\ldots =0.$

Or, nous avons