6. Puisque les lignes représentées par les équations et se confondent alors, ces deux équations peuvent être rendues identiques en y faisant donc on obtiendra l’intégrale de l’équation en y remplaçant simplement par la constante arbitraire
Troisième cas. Il est évident que ce cas rentre entièrement dans le second ; dont il se déduit en supposant que l’enveloppe des droites du système se réduit à un point. Tout ce que nous venons de dire doit donc lui être applicable.
7. PROBLÈME II. Quelle doit être la forme de l’équation intégrale, pour que l’équation différentielle soit de la forme étant une constante absolue, et une fonction déterminée de
Solution. Conformément à la seconde méthode, nous donnerons successivement à les valeurs il en résultera pour les valeurs nous construirons les droites parallèles (fig. 5) données par les équations
Par un point pris arbitrairement sur nous mènerons une droite faisant avec l’axe des un angle dont la tangente tabulaire soit puis par le point de une droite faisant avec le même axe un angle dont la tangente tabulaire soit et ainsi de suite. Nous obtiendrons ainsi un polygone ayant pour limite une des courbes représentées par l’équation
Si ensuite au point nous substituons un autre point de nous obtiendrons un nouveau polygone dont les côtés seront égaux et parallèles à ceux du premier, et dont la limite sera encore une des courbes représentées par l’équation Il n’en faut pas davantage pour apercevoir que toutes les courbes exprimées par l’équation sont des courbes égales et disposées
