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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$4S=2U+2V=\operatorname {Log} .\left(1+2u\operatorname {Cos} .y+u^{2}\right)+\operatorname {Log} .\left(1+2v\operatorname {Cos} .y+v^{2}\right)\,;$

c’est-à-dire,

$4S=\operatorname {Log} .\left(1+2u\operatorname {Cos} .y+u^{2}\right)\left(1+2v\operatorname {Cos} .y+v^{2}\right)\,;$

en développant et se rappelant que $uv=1,$ cela donnera

$4S=\operatorname {Log} .\left[2+u^{2}+v^{2}+4(u+v)\operatorname {Cos} .y+4\operatorname {Cos} .^{2}y\right]\,;$

mais

$u+v=2\operatorname {Cos} .x,\qquad u^{2}+v^{2}=(u+v)^{2}-2=4\operatorname {Cos} .^{2}x-2\,;$

donc

$4S=\operatorname {Log} .4\left(\operatorname {Cos} .^{2}x+2\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Cos} ^{2}y\right)=\operatorname {Log} .4(\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y)^{2}$

ou

$4S=2\operatorname {Log} .(2\operatorname {Cos} .x+2\operatorname {Cos} .y),$

d’où finalement

$S={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .2(\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y)={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .4\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y).$

Nous ayons donc, en résumé,

1.^o  ${\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}-\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\right),$

2.^o  ${\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x-1),$

3.^o  ${\frac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}-\ldots$

$={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .4\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y).$

Il est aisé de parvenir, en suivant la même marche, à des sommes de séries beaucoup plus compliquées. Nous nous bornerons à en rapporter deux exemples, en nous dispensant de développer les calculs qui sont en tout semblables à ceux qu’on a vu ci-dessus.