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INTÉGRALES

surface sur laquelle elle est tracée ; et que par conséquent son rayon de courbure absolu est partout normale à cette surface. C’est, au surplus, ce qu’on peut reconnaître aussi par des considétations mécaniques ; la courbe cherchée ne devant être autre que celle qu’affecterait un fil élastique que l’on tendrait entre les deux points donnés, et sur lequel la surface donnée n’exercerait aucune sorte de frottement.

82. PROBLÈME XII. Quel est, sur une surface donnée, le plus court chemin d’un point donné à une courbe donnée ?

Solution. Soit toujours $S=0$ l’équation de la surface donnée, et soit $R=0$ l’équation d’une autre surface qui la coupe suivant la courbe donnée. Soient enfin $(a,b)$ les coordonnées de la projection sur le plan des $xy$ du point donné sur la première des deux surfaces. L’équation générale de la ligne cherchée sera encore la même que ci-dessus, et il ne s’agira conséquemment que d’avoir égard aux conditions relatives aux limites.

Or, l’équation aux limites sera ici (73, 77) simplement,

{\frac {x'_{1}}{\sqrt {x_{1}^{'2}+y_{1}^{'2}+z_{1}^{'2}}}}X_{1}+{\frac {y'_{1}}{\sqrt {x_{1}^{'2}+y_{1}^{'2}+z_{1}^{'2}}}}Y_{1}+{\frac {z'_{1}}{\sqrt {x_{1}^{'2}+y_{1}^{'2}+z_{1}^{'2}}}}Z_{1}=0,

puisque la première limite est absolument fixe. À la seconde, on devra avoir

R=0,\qquad S=0,

d’où (76)

{\begin{aligned}&\left({\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}X_{1}+\left({\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}Y_{1}+\left({\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}Z_{1}=0,\\\\&\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}X_{1}+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}Y_{1}+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}Z_{1}=0,\end{aligned}}

Si, à l’équation aux limites, on ajoute les produits de ces deux-ci par $\lambda$ et $\mu ,$ et qu’après avoir égalé à zéro, dans l’équation somme,