Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/91

87

INDÉTERMINÉES.

$1+M{\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} z_{1}}}+N{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} z_{1}}}=0,$

ce qui prouve que la plus courte ligne d’un point à une courbe est la normale menée de ce point à cette courbe ; d’où il est facile de conclure que la plus courte ligne entre deux courbes quelconques est la normale qui leur est commune.

80. De ce résultat et de celui du précédent problème, on peut conclure également que la plus courte ligne entre une courbe et une surface courbe quelconque est la normale commune à l’une et à l’autre.

81. PROBLÈME XI. Quelle est la plus courte ligne entre deux points sur une surface courbe donnée ?

Solution. Soit $S=0$ l’équation de la surface courbe dont il s’agit ; pour donner deux points sur cette surface, il suffira de donner leurs projections sur le plan des $xy\,;$ nous supposerons que ces projections sont $(a_{0},b_{0}),(a_{1},b_{1}).$

Nous aurons encore ici, comme dans le problème VIII,

$\left.{\begin{aligned}&\left[x''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-x'(x'x''+y'y''+z'z'')\right]X\\+&\left[y''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-y'(x'x''+y'y''+z'z'')\right]Y\\+&\left[z''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-z'(x'x''+y'y''+z'z'')\right]Z\end{aligned}}\right\}=0,$

mais les fonctions $X,Y,Z$ devront être liées entre elles par la condition (16)

$\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right)X+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)Z=0.$

Ajoutant le produit de cette équation par $\lambda$ à la précédente, et égalant à zéro les coefficiens de $X,Y,Z,$ dans l’équation résultante, il viendra, après l’élimination de $\lambda$ entre les trois équations auxquelles on sera parvenu,