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INTÉGRALES

fixes, ni absolument indéterminées. On peut exiger, par exemple, qu’à la première limite, on ait, entre $x,y,z,$ et leurs coefficiens différentiels, une ou plusieurs équations de relation, telles que

$\operatorname {F} (x,x',x'',\ldots ,y,y',y'',\ldots ,z,z',z'',\ldots )=L=0\,;$

il en résultera l’équation

$0=\left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{0}X_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x'}}\right)_{0}X'_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}X''_{0}+\ldots \\\\+&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{0}Y_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}Y'_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}Y''_{0}+\ldots \\\\+&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{0}Z_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z'}}\right)_{0}Z'_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z''}}\right)_{0}Z''_{0}+\ldots \end{aligned}}\right\}\,;\quad (21)$

et on pourra en avoir d’analogues pour l’autre limite. On ajoutera alors à l’équation (19) les produits de ces équations par des multiplicateurs indéterminés ; égalant ensuite à zéro dans l’équation somme, les coefficiens des diverses fonctions $X,X',X'',\ldots$$Y,Y',Y'',\ldots$ $Z,Z',Z'',\ldots$ et éliminant enfin les multiplicateurs indéterminés entre les équations résultantes, il en résultera des équations qui, conjointement avec

$L_{0}=0\qquad \qquad \qquad$(22)

et ses analogues, serviront à déterminer les constantes.

77. Appliquons présentement ces procédés à divers exemples.

PROBLÈME VIII. Quelle est la plus courte ligne entre deux points de l’espace ?

Solution. Soient $\left(a_{0},b_{0},c_{0}\right),\left(a_{1},b_{1},c_{1}\right)$ les deux points donnés ; nous aurons ici $V={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},$ et par conséquent