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INTÉGRALES

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {1+M^{2}}}}+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}&=0,\\\\{\frac {M}{\sqrt {1+M^{2}}}}+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}&=0\,;\end{aligned}}$

entre lesquelles éliminant $\lambda ,$ il viendra finalement

$\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}M-\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}=0\,;$

mais, d’un autre côté, en différentiant l’équation $L_{1}=0,$ comme équation en $x$ et $y,$ il vient

$\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} x_{1}}}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}=0,$

qui, combinée avec la précédente, donne

$1+M{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} x_{1}}}=0,$

d’un autre côté, si dans l’équation

$y=Mx+G,$

on substitue les coordonnées du point $(a,b),$ on aura, en retranchant,

$y-b=M(x-a)\,;$

mettant donc dans cette dernière pour $M$ la valeur donnée par l’équation ci-dessus, il viendra, pour l’équation de la ligne cherchée,