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INTÉGRALES

${\begin{array}{llr}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)=0,&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)={\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)=0,\ldots ,\\\\&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'={\frac {x'(y'x''-x'y'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)'=0,\ldots ,\\\\&&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''=0,\ldots ,\\\\\end{array}}$

En conséquence, les équations (6) deviendront

${\frac {y'(x'y''-y'x'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}=0,\qquad {\frac {x'(x'y''-y'x'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}=0,$

et seront conséquemment satisfaites l’une et l’autre en posant

${\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}=0,$

qui sera conséquemment l’équation différentielle de la ligne cherchée.

Cette équation revient simplement à

$x'y''-y'x''=0,\quad$ou$\quad {\frac {y''}{y'}}={\frac {x''}{x'}}\,;$

ce qui donne, par une première intégration

$\operatorname {l} y'=\operatorname {l} Mx'\quad$d’où$\quad y'=Mx',$

et, par une nouvelle intégration,

$y=Mx+G\,;$

c’est-à-dire que la plus courte ligne que l’on puisse mener à une