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INDÉTERMINÉES.

l’on va lire, qu’il n’est aucune des questions de maxima et de minima auxquelles il est d’usage d’appliquer le calcul des variations, et pour la solution desquelles ce calcul a été principalement inventé, qu’on ne puisse traiter d’une manière très-lumineuse et très-briève, par la simple application des procédés les plus vulgaires du calcul différentiel ordinaire, et en ne s’appuyant uniquement que sur la théorie des maxima et des minima, dans les fonctions déterminées d’une seule variable ; théorie sur laquelle il ne reste plus aujourd’hui le plus léger nuage dans l’esprit de tous ceux qui ont pris la peine de l’étudier dans les bonnes sources^[1].

Bien que les notations dont nous allons nous servir ne soient pas dépourvues d’une certaine élégance, il se pourra fort bien que ceux à qui les procédés du calcul des variations sont familiers les trouvent moins simples et moins commodes que celles dont ce calcul fait usage ; mais il s’agit bien moins ici de notations que de principes ;

↑ On ne conçoit pas par quelle fatalité l’illustre auteur du Calcul des fonctions, si éminemment clair partout ailleurs, débute lui-même, dans l’exposition des principes du calcul des variations, par un véritable non-sens, « Soit, dit-il, $\phi (x,i)$ une fonction de $x$ et de $i$ qui devienne $\phi (x),$ lorsque $i=0$ ». Il est sans doute bien vrai qu’une fonction de $x$ et de $i$ se réduit à une simple fonction de $x,$ lorsque $i$ devient nul ; mais cette dernière fonction peut-elle être notée par la même caractéristique que la première, et peut-on se permettre, dans une même question, d’employer la même caractéristique à désigner une fonction qui contient deux quantités distinctes et une autre qui n’en contient qu’une seule ? non sans doute. Que répondrions-nous, en effet, à quelqu’un qui, par exemple, après avoir posé ${\frac {1+a^{2}}{1-a^{2}}}=\phi (a),$ nous demanderait de construire sur ce modèle $\phi (a,b)$ ? Fort heureusement cette légère inadvertance n’a pas une influence nécessaire sur les développemens qui viennent à sa suite ; mais enfin, que veut-on que fasse celui qui y voulant étudier pour la première fois le calcul des variations, et ayant pris la résolution de ne rien laisser passer sans le bien saisir, vient, dès le début, se heurter contre un obstacle de cette nature ?

[1] On ne conçoit pas par quelle fatalité l’illustre auteur du Calcul des fonctions, si éminemment clair partout ailleurs, débute lui-même, dans l’exposition des principes du calcul des variations, par un véritable non-sens, « Soit, dit-il, $\phi (x,i)$ une fonction de $x$ et de $i$ qui devienne $\phi (x),$ lorsque $i=0$ ». Il est sans doute bien vrai qu’une fonction de $x$ et de $i$ se réduit à une simple fonction de $x,$ lorsque $i$ devient nul ; mais cette dernière fonction peut-elle être notée par la même caractéristique que la première, et peut-on se permettre, dans une même question, d’employer la même caractéristique à désigner une fonction qui contient deux quantités distinctes et une autre qui n’en contient qu’une seule ? non sans doute. Que répondrions-nous, en effet, à quelqu’un qui, par exemple, après avoir posé ${\frac {1+a^{2}}{1-a^{2}}}=\phi (a),$ nous demanderait de construire sur ce modèle $\phi (a,b)$ ? Fort heureusement cette légère inadvertance n’a pas une influence nécessaire sur les développemens qui viennent à sa suite ; mais enfin, que veut-on que fasse celui qui y voulant étudier pour la première fois le calcul des variations, et ayant pris la résolution de ne rien laisser passer sans le bien saisir, vient, dès le début, se heurter contre un obstacle de cette nature ?

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