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INDÉTERMINÉES.

par les moyens connus, de l’hypothèse de $y$ fonction de $x$ à celle de $x$ et $y$ fonctions d’une troisième variable $t,$ ce qui fera prendre à notre intégrale la forme $\int V\operatorname {d} t,$ où $V$ sera fonction de $x,y$ et des coefficiens différentiels

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}},{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}},{\frac {\operatorname {d} ^{3}x}{\operatorname {d} t^{3}}},\ldots {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}},{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}},{\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} t^{3}}},\ldots$

que nous représenterons respectivement, comme nous en sommes convenus plus haut, par

$x',x'',x''',\ldots ,y',y'',y''',\ldots$

Supposant ensuite que $x$ et $y$ deviennent respectivement

$x+iX,\qquad y+iY,$

où $X$ et $Y$ sont des fonctions arbitraires de $t,$ et $i$ un nombre abstrait d’une petitesse illimitée, $\int V\operatorname {d} t$ deviendra alors

$\int V\operatorname {d} t+{\frac {i}{1}}\int \left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right)X+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)X'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)X''+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)X'''+\ldots \\\\+&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)Y'''+\ldots \end{aligned}}\right\}\operatorname {d} t+\ldots (1)$

En conséquence, la condition commune au maximum et au minimum sera exprimée par l’équation

$0=\left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right)X+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)X'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)X''+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)X'''+\ldots \\\\+&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)Y'''+\ldots \end{aligned}}\right\}.(2)$

60. Or, on a