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INTÉGRALES

$\left(1+m^{2}\right)n-2lmo+\left(1+l^{2}\right)p=0\,;$

et telle sera l’équation différentielle partielle de la surface cherchée.

Or, il est connu qu’en représentant par $\rho$ l’un des deux rayons de courbure principaux d’une surface quelconque, en l’un quelconque de ses points, ces deux rayons sont donnés par l’équation

$\left(np-o^{2}\right)\rho ^{2}+\left[\left(1+m^{2}\right)n-2lmo+\left(1+l^{2}\right)p\right]\left(1+l^{2}+m^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\rho$

$+\left(1+l^{2}+m^{2}\right)^{2}=0\,;$

donc l’équation ci-dessus est celle de toutes les surfaces qui, en chacun de leurs points, ont leurs deux courbures principales égales et de signes contraires. Il n’y a donc que des surfaces de ce genre qui puissent résoudre le problème que nous nous sommes proposé. Leur espèce particulière dépendra, dans chaque cas, de la nature des conditions prescrites pour les limites de l’intégrale^[1].

Afin donc de pouvoir compléter la solution du problème, il faudrait, avant tout, intégrer l’équation

$\left(1+m^{2}\right)n-2lmo+\left(1+l^{2}\right)p=0\,;$

malheureusement, comme l’observe Lagrange, les intégrales qu’on en a obtenues jusqu’ici ne sont pas sous une forme qui puisse se prêter aux applications.

50. Si l’on avait proposé de déterminer la surface de moindre étendue, entre toutes celles qui se terminant à la même courbe plane ou à double courbure donnée, la question serait rentrée dans la précédente, puisqu’on peut toujours imaginer une telle courbe comme tracée sur une surface ayant toutes ses arêtes ou élément

1. Voyez, sur ce sujet, une dissertation insérée à la page 143 du VII.^e volume du présent recueil.