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INTÉGRALES

qu’on le voudra, on pourra toujours considérer $z+iZ$ comme exprimant l’ordonnée de cette surface. De sorte qu’en supposant $Z$ arbitraire et $i$ d’une petitesse illimitée, la formule $z+iZ$ exprime l’ordonnée de la totalité des surfaces que nous devons comparer à la surface cherchée.

43. Remarquons pourtant, avant d’aller plus loin, qu’il se pourrait, dans des cas particuliers, en vertu de certaines conditions de la question, que la fonction $Z,$ toujours indéterminée, ne dût point être tout-à-fait arbitraire, ou du moins ne dût l’être que sous certaines restrictions : c’est, par exemple, ce qui arriverait si la surface cherchée devait passer par une courbe donnée, plane ou à double courbure, ou encore par un polygone donné, rectiligne, mixtiligne ou curviligne, plan ou gauche ; car alors on n’aurait à lui comparer que les autres surfaces qui passeraient par cette courbe ou par ce polygone ; mais nous avons déjà vu (§. I et II), et nous verrons bientôt de nouveau qu’on est toujours à temps, à la fin du calcul, d’avoir égard à ces sortes de limitations.

44. Par le changement de $z$ en $z+iZ,$ les quantités

${\begin{array}{rrr}z,&l,&n,&q,\ldots ,\\&m,&o,&r,\ldots ,\\&&p,&s,\ldots ,\\&&&t,\ldots ,\\&&&\ldots ,\end{array}}$

deviennent respectivement

${\begin{alignedat}{3}z+&iZ,&l+&i{\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} x}},\qquad &n+&i{\frac {\operatorname {d} ^{2}Z}{\operatorname {d} x^{2}}},\qquad &q+&i{\frac {\operatorname {d} ^{3}Z}{\operatorname {d} x^{3}}},\ldots ,\\&&m+&i{\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} y}},&o+&i{\frac {\operatorname {d} ^{2}Z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}},&r+&i{\frac {\operatorname {d} ^{3}Z}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}},\ldots ,\\\end{alignedat}}$