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INTÉGRALES

des équations $(\alpha ,\gamma )$ équivaut au système des équations $(\alpha ,\beta )\,;$ puis donc que les premières appartiennent à un grand cercle de la sphère, il doit en être de même des dernières ; la ligne cherchée est donc un arc du grand cercle donné par les deux équations

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},\qquad Ax+By=z\,;$

dans lesquelles on peut profiter de l’indétermination des deux constantes $A$ et $B$ pour assujettir la courbe à se terminer à des points donnés sur les intersections de la sphère avec les deux plans parallèles entre lesquels cette courbe doit se trouver comprise. Il demeure donc établi, par ce qui précède, que le plus court chemin, sur la sphère, entre deux points de sa surface, est l’arc de grand cercle qui joint ces deux points.

37. On peut, comme nous l’avons fait (14), ramener a là question qui nous occupe, d’autres questions qui semblent d’abord beaucoup plus compliquées. Soient $U,P,Q,R,\ldots$ des quantités composées d’une manière connue quelconque en $z,x,y,x',y',x'',y''\ldots .$ On peut se demander d’assigner, parmi les diverses valeurs de $x$ et $y$ en $z$ qui, entre des limites déterminées, donnent

$\int P\operatorname {d} z=a,\quad \int Q\operatorname {d} z=b,\quad \int R\operatorname {d} z=c,\ldots \qquad$(XXIV)

où $a,b,c,\ldots$ sont des constantes données, quelles sont celles qui, entre les limites, rendent $\int U\operatorname {d} z$ maximum ou minimum ? Or, en raisonnant comme nous l’avons fait à l’endroit cité, on verra qu’en posant

$V=U+AP+BQ+CR+\ldots ,$

où $A,B,C$ sont de nouvelles constantes, la question se réduit à rendre $\int V\operatorname {d} z$ maximum ou minimum, entre les limites dont il s’agit, et à déterminer ensuite les constantes $A,B,C,\ldots$ à l’aide des conditions (XXIV). Voici un exemple.

38. PROBLÈME IV. Entre toutes les courbes qui, se terminant à deux plans parallèles, sont telles que l’ensemble des perpendiculaires entre ces plans, terminées à l’un et à l’autre, qui passent par les divers points de ces courbes, forme une portion de surface