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INDÉTERMINÉES.

$\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}N=\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}M\,;$

mais, en différentiant l’équation $L=0\,;$ il vient

$\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}\operatorname {d} x+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}\operatorname {d} y=0,$

qui, combinée avec la précédente, donne

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {M}{N}}\,;$

mais les équations de notre droite étant, dans le cas actuel

$x-a_{0}=M\left(z-c_{0}\right),\qquad y-b_{0}=N\left(z-c_{0}\right),$

l’équation de sa projection sur le plan de la courbe sera

$y-b_{0}={\frac {N}{M}}\left(x-a_{0}\right)\,;$

d’où l’on voit que cette projection, et par conséquent la droite elle-même sera normale à la courbe.

Il demeure donc établi par là que le plus court chemin d’un point de l’espace à une courbe plane est la normale menée de ce point à cette courbe ; et il est facile d’en conclure que le plus court chemin entre deux courbes planes situées dans deux plans parallèles, ou même dans un même plan, est la normale qui leur est commune.

Nous voilà donc parvenus ici à la solution d’un problème que précédemment (13) nous avions vainement tenté de résoudre ; et l’on voit que cela tient à ce qu’alors $y$ était, dès-l’abord, supposée fonction de $x,$ tandis que $x,y$ sont supposés fonctions d’une troisième variable $z\,;$ ce qui permet d’établir ensuite telle relation on