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QUESTIONS

pourra, tout au moins, parvenir à l’équation différentielle de cette courbe.

L’application de cette remarque au problème dont il s’agit est manifeste. Soient, comme on l’a supposé, $k$ la vitesse du chien, $g$ celle de son maître, et $h$ celle du courant ; et soit posé, pour abréger, $g-h=nk.$ Au lieu de supposer l’eau courante, on pourra la supposer stagnante, en admettant que le canal et le terrain sur lequel il est situé sont transportés dans le sens de sa direction avec la vitesse $h,$ sur un plan fixe, et que le maître marche sur ce terrain mouvant avec une vitesse $g-h$ ou $nk\,;$ de sorte que le rapport de la vitesse du maître à celle de son chien sera encore $n,$ comme dans le premier problème, auquel se rapporteront aussi les circonstances du mouvement du chien sur le plan mobile, puisque ce mouvement aura lieu dans une eau stagnante par rapport à ce plan. Nous aurons donc ici $r={\frac {h}{k}}\,;$ et en outre nous avons trouvé ci-dessus, pour le premier problème,

${\begin{array}{rl}y'&={\frac {a}{2}}\left\{{\frac {1}{n+1}}\left[\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1}-1\right]+{\frac {1}{n-1}}\left[\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}-1\right]\right\},\\\\s&={\frac {a}{2}}\left\{{\frac {1}{n-1}}\left[\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}-1\right]-{\frac {1}{n-1}}\left[\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1}-1\right]\right\}\,;\end{array}}$

Substituant donc ces valeurs dans l’équation

$y=y'+{\frac {h}{k}}s\quad$ou$\quad ky=ky'+hs,$

il viendra

${\frac {2ky}{a}}={\frac {k-h}{n+1}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1}-1\right\}+{\frac {k+h}{n-1}}\left\{\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}-1\right\},$

qui est exactement l’équation (19) du second problème^[1].

1. Nous recevons à l’instant un travail de M. Tédenat, recteur honoraire, correspondant de l’académie royale des sciences, dont l’objet est également